Математика: ведическая и современная

Ганита-сутры

5000 лет назад на территории современной Индии мудрец Вьясадева, которого считают воплощением Бога, вместе со своими учениками записал передававшееся до того из уст в уста древнейшее знание — для нас с вами, так как знал, что наша память в нынешнюю эпоху деградации будет плохой. Само знание на санскрите называется веда (ср. русские слова: ведать, медведь, проповедовать, невежда). Веды, считающиеся богооткровенными, были разделены на части, одна из которых — Стхапатья-веда — содержит в частности информацию по математике (на санскрите — ганита). Джагадгуру Свами Бхарати Кришна Тиртхаджи Махараджа (1884-1960) из г. Пури написал комментарий к нескольким математическим сутрам (кратким афоризмам), содержащимся там. И оказалось, что задолго до Пифагора Веды уже содержали формулировку его знаменитой теоремы о соотношении сторон в прямоугольном треугольнике! При этом Веды, по крайней мере дошедшие до нас, не содержат доказательств. Бог, как добрый отец, просто даёт наставления для применения здесь и сейчас. Применяйте — и сами увидите, что все работает!

То, что открыл Джагадгуру Свами, вполне укладывается в рамки современной математики, но отличается методически. Так например, преподаватели ведической математики в Индии рекомендуют детям учить таблицу умножения только до 5, так как остальное легко посчитать в уме. Как? Предположим, что нужно умножить 6 на 8. Дополнение сомножителей до 10 составляет 4 и 2, соответственно. Эти остатки сначала вычитаем из «противоположного» сомножителя: 6-2=8-4=4 (это число десятков ответа), а далее остатки перемножаем и получаем 8 — число единиц. Итак: 4|8=48. Этот же метод годится и для многозначных чисел. Например, умножим 92 на 96. До 100 недостаёт 8 и 4 соответственно. 92-4=88, 8x4=32. Ответ: 8832. Устный счёт! Красиво, не правда ли?

Сутры также дают правило возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Например, 45x45. Ответ получаем так: 4x(4 1)=20 сотен и добавляем 25: 2025. Аналогично 95x95=9x10|25=9025. Этот же метод работает и для любых чисел, например, 96x96. Правило из сутр гласит: найти дополнение до ближайшего круглого, в данном случае 4 (до 100); вычесть его из исходного числа: 96-4=92; возвести дополнение в квадрат: 4x4=16. Ответ: 9216.

Сутры открывают знание о признаках делимости, необходимых условиях того, что число является целым кубом, методах деления без подбора и умножение многозначных чисел. Всё это, оказывается, при некоторой тренировке можно делать в уме! В наше время, нам запрещали пользоваться калькулятором, чтобы сохранить навыки счёта и чувство числа. Современные дети уже не могут считать без калькулятора. Устный счёт забыт... Однако некоторые прогрессивные люди на Западе уже подхватили инициативу индийских коллег и пытаются учить детей «традиционным» ведическим методом.

Ведическая математика говорит также о многомерности пространства, технике интегрирования и т.п. Не удивительно ли, что наши «примитивные» предки обладали столь совершенным знанием и таким мощным интеллектом, что сложнейшие вычисления в уме, как и запоминание тысяч стихов на слух с одного раза, были для них вполне обычным делом. Они также умели без всяких компьютеров точно рассчитывать положения светил для астрономических целей... Все это наводит на мысль, что Веды нас не обманывают, и мы, убогие, оказывается, живём в эпоху деградации, а не расцвета!

Однако Веды говорят, что в нашу эпоху существенная часть знаний утрачена, поэтому необходима и «обычная» современная наука. Но даже и о ней большинство людей в наше время почти ничего не знают. Приведём несколько примеров.

Фракталы против интуиции

Вспомним спецэффекты кино: не совсем реальный рисованный пейзаж, динозавр движется неестественно, и атлетическая девушка с огромным пулемётом наперевес не вызывает ни восхищения, ни сочувствия, ни трепетного «барышня, садитесь, пожалуйста». Всё потому, что мы с вами сделаны не из правильных геометрических фигур, а облака и горы только сумасшедшему напоминают эллипсоиды и конусы. Наш глаз и наше природное чутьё улавливает что-то такое, что не заложено в программы анимации.

Знаменитый английский инженер Ричардсон решил измерить длину береговой линии Великобритании. Как подсказывал ему вышколенный классической геометрией внутренний голос, нужно было взять циркуль и его шагами измерить длину на карте. Затем, как когда-то поступал Архимед, измерявший окружность, уменьшить раствор циркуля и повторить процедуру. У Архимеда все значения сходились к одному числу — диаметру, умноженному на число «пи». Ричардсон ожидал того же. «Ну, конечно же! — воскликнет читатель, — Так и должно было получиться!» Но здесь уместны слова героя кинокомедии «С лёгким паром»: «Должен, но не помню».

Именно это и произошло. Длина, измеренная на хороших картах, при уменьшении раствора циркуля неограниченно росла! Много лет спустя, занимаясь совсем другими проблемами, математик Бенуа Мандельброт (Benoit Mandelbrot) построил новую геометрию, основанную не на прямых и точках, а на бесконечно изрезанных самоподобных объектах — фракталах.

Фрактальностью обладают разные объекты реального мира: облака, трещины, молнии, многие пористые тела, горные рельефы и т.д. При расчёте прохождения радиактивной пыли сквозь трещины в реакторе Чернобыля использовали фрактальные модели. Многие видели изображения «молний» в элементах современных дизайнов, это — вариант фрактального множества Жюлиа. Оказывается, наш мир вовсе не описывается школьной евклидовой геометрией...

Реакционная диффузия

Этот странный термин связан с именем гениального английского математика Алана Тьюринга (Alan Turing). Это его группа во время Второй Мировой сумела расшифровывать германские секретные сообщения, зашифрованные с помощью машинки «Энигма». Это он написал брошюру «Может ли машина мыслить?» Это он придумал абстрактный компьютер из бесконечной ленты и считывающей/записывающей головки, имеющий отношение к теории разрешимости.

В 50-х годах XX в. Тьюринг опубликовал статью «Химические основы морфогенеза». Выражаясь спортивным языком, он играл на чужом поле. В статье с помощью математических моделей диффузии, осложнённой химической реакцией с нелинейной кинетикой, объяснялось, почему существуют кольчатые черви. На современном языке речь шла о пространственной самоорганизации. Тогда, веря в свои знания и интуицию, биологи раскритиковали статью; теперь же идеи Тьюринга «живут и побеждают».

Почему кончается жизнь?

Почему время течёт в одну сторону? Законы механики, которой принято вот уже три столетия всё объяснять, справедливы и при обращении времени. Тем не менее киношный трюк с восстановлением разбитой тарелки воспринимается как что-то нереальное.

Оказалось, что мир опять-таки не описывается школьной классической механикой. Многие системы быстро «забывают» свои предыдущие состояния, т.е. их поведение не связано с предысторией. Кроме того, при одинаковых начальных условиях система может достигать различных конечных состояний. Из-за неоднозначности связи «прошлого» и «будущего» вернуться вспять не удаётся, и только Господь Бог, обладающий бесконечно точным знанием, способен предсказать всё и сколь угодно далеко вперёд и назад.

Незыблемость основ науки

Николя Бурбаки (Nicolas Bourbaki) — коллективный псевдоним группы французских математиков, предпринявших отчаянную попытку построить абсолютно строго аксиоматически всё доступное к концу 30-х годов XX в. математическое знание. Похоже, сделать это не удалось, хотя и сама группа, и её труды живы и по сей день. Не всё так просто с «царицей наук».

В теории множеств есть парадокс брадобрея: «Он бреет всех, кто не бреется сам. Бреет ли он себя?» Любой ответ будет неверен. Это говорит о том, что формальная логика не точно отражает реальность. «Может ли Бог создать камень, который не сможет поднять?» Любой ответ вроде бы говорит о невозможности существования всемогущего Бога. Но на самом деле это говорит лишь об ограниченности нашего ума...

Гёдель доказал, что в любой системе аксиом существет утверждение, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто, т.е. любое аксиоматическое знание (пратьякша анумана, т.е. опыт логика) является заведомо неполным!

Это почти совпадает с утверждением Вед о принципиальном несовершенстве пратьякши и ануманы и превосходстве метода шабда — получения знания путем слушания авторитетного источника.

Как видим, современная (материалистическая) наука хоть и не смогла сделать нас счастливее, но все же очень близко подошла к вопросам жизни и смерти, границ познания и соотношения теории и реальности — вопросам, составляющим суть всех философий. Что-то очень глубокое стало открываться взору учёных. Наука приближается к областям, традиционно связанным с религией. С другой стороны Веды все больше входят в обиход ученых. Книга Джагадгуру Свами есть в библиотеке МГУ, а Интернет изобилует ссылками на ведическую математику. Наличие доступа к совершенному знанию древних, живших в лучшее, чем сейчас, время, даёт надежду на долгожданный синтез науки и религии. И это позволит нам научиться разрешать наши проблемы путём изменения своего сознания, отбрасывая устаревшие догмы и излишнее доверие к своей несовершенной логике.